Geometrijski izazov #7 · 21. 10. 2026. · razina 3+ (isti obrazac, ali unatrag: zadana je površina, traži se duljina)

Četvrtina prstena unatrag

Zelena četvrtina prstena ima površinu 16π cm², a dužina AT kreće s kraja velikog luka i dodiruje mali luk u točki T. Koliko je duga dužina AT?

? 16π cm² O A T

Povuci bijelu točku na malom luku (ili klizač) da mijenjaš veličinu malog luka. Zelena površina uvijek ostaje 16π cm².

Veličina malog luka

Kako gledati crtež
zelena četvrtina prstena (16π cm²) mala četvrtina kruga veliki luk dužina AT (tražiš je)

Tapni stavku u legendi da je sakriješ ili vratiš.

Prvo samo promatraj:

  1. Mijenjaj veličinu malog luka. Što se događa s velikim lukom?
  2. Mijenja li se pritom duljina narančaste dužine AT? Što ti to govori?
  3. Ovaj put je obrnuto nego prije: što je zadano, a što tražiš?
Savjeti (otvaraj jedan po jedan)
💡 1. Ovo je naš poznati obrazac, samo unatrag. Prije si iz duljine računao površinu, a sad iz površine računaš duljinu. Popis pitanja ostaje isti: što tražim, gdje je pravi kut, koje su stranice trokuta.
💡 2. Polumjer koji ide u dodirnu točku uvijek stoji okomito na dodirnu crtu. Uključi 📐 Pokaži pomoćni trokut. Koja stranica trokuta O–T–A leži nasuprot pravom kutu? Pazi, ovaj put ona leži vodoravno na podu.
💡 3. Razlikuj tri stvari: površinu (ima π i cm²), razliku R² − r² (bez π) i duljinu AT (obični centimetri). Iz površine prvo dođi do R² − r², radeći isto s obje strane znaka =, pa tek onda do duljine.

Dužina AT je duga 8 cm, bez obzira na veličinu malog luka.

Zašto: zelena površina je četvrtina velikog kruga bez četvrtine malog: ¼·π·R² − ¼·π·r² = ¼·π·(R² − r²) = 16π. Pomnoži obje strane s 4 i podijeli s π: R² − r² = 64.

Polumjer OT ide u dodirnu točku pa je okomit na AT: u trokutu O–T–A pravi kut je kod T. Nasuprot njemu je OA = R (A je na velikom luku), a katete su OT = r i AT. Pitagora: R² = r² + AT². Oduzmi r² s obje strane: AT² = R² − r² = 64. Koji broj puta sam sebe daje 64? 8, pa je AT = 8 cm.

Novo za ponijeti: obrazac radi u oba smjera. Ako znaš duljinu, dobiješ površinu, a ako znaš površinu, dobiješ duljinu. Samo pazi da ne pomiješaš površinu, R² − r² i duljinu.