Geometrijski izazov #6 · 20. 10. 2026. · razina 3 (isti obrazac, novi trik: pomicanje)

Pomični polukrug

Mali polukrug stoji na promjeru velikog polukruga, a tetiva AB velikog polukruga, usporedna s promjerom i duga 12 cm, dodiruje mali polukrug. Kolika je površina zelenog dijela?

O A B T S

Povuci bijelu točku S (središte malog polukruga) lijevo-desno, mišem ili prstom. Tetiva AB je uvijek duga 12 cm.

Veličina malog polukruga
Položaj malog polukruga

Kako gledati crtež
zeleni dio mali polukrug veliki polukrug promjer tetiva AB (12 cm)

Tapni stavku u legendi da je sakriješ ili vratiš.

Prvo samo promatraj:

  1. Pomiči mali polukrug lijevo-desno. Što se mijenja na crtežu, a što ostaje isto?
  2. Mijenjaj veličinu malog polukruga. Što se pritom događa s velikim polukrugom?
  3. Koliko je visoko tetiva AB iznad promjera? Usporedi to s malim polukrugom.
Savjeti (otvaraj jedan po jedan)
💡 1. Ovo je opet naš stari obrazac, samo što je sve prepolovljeno, a mali polukrug je pomaknut iz sredine. Tetiva dodiruje mali polukrug u njegovoj najvišoj točki T. Što ti to govori o visini tetive?
💡 2. Kad pomičeš mali polukrug, mijenja li se njegova površina? Mijenja li se zeleni dio? Ako ne, smiješ ga staviti gdje ti je najzgodnije. Probaj ⇥ Stavi S u sredinu i usporedi s jučerašnjim prstenom.
💡 3. Uključi 📐 Pokaži pomoćni trokut. Iz O se okomito diže crta do sredine tetive M. Koliko je duga, ako znaš visinu tetive? Površina polukruga je pola od π·r·r (ne π·r).

Zeleni dio ima površinu 18π ≈ 56,5 cm², bez obzira gdje stoji mali polukrug i koliko je velik.

Zašto: tetiva je usporedna s promjerom i dodiruje mali polukrug u njegovom vrhu T, pa je tetiva na visini r iznad promjera. Okomica iz O do sredine tetive M zato je duga isto r. U trokutu O–M–B pravi kut je kod M, katete su r i pola tetive (6 cm), a hipotenuza je veliki polumjer R. Pitagora: R² = r² + 6². Oduzmi r² s obje strane: R² − r² = 36.

Zeleni dio = ½·π·R² − ½·π·r² = ½·π·(R² − r²) = ½·π·36 = 18π ≈ 56,5 cm².

Novi trik za ponijeti: ako pomicanje nečega ne mijenja ono što tražiš, pomakni ga tamo gdje ti je najlakše. Pomicanje malog polukruga ne mijenja ni njegovu površinu ni visinu tetive, pa ga smiješ staviti u sredinu, i to je opet obrazac R² − r² = poznato², samo prepolovljen.