Geometrijski izazov #5 · 19. 10. 2026. · razina 2+ (isti obrazac, nova slika)

Prsten oko mnogokuta

Pravilni mnogokut ima sve stranice duge 8 cm; veliki krug prolazi kroz njegove vrhove, a mali krug dodiruje sve njegove stranice. Kolika je površina narančastog prstena?

Povuci bijeli vrh A (mišem ili prstom) da okreneš lik. Klizačem mijenjaš broj stranica. Svaka stranica uvijek ostaje duga 8 cm.

Broj stranica: 4 (kvadrat)

Kako gledati crtež

prsten mali krug veliki krug mnogokut stranica AB (8 cm)

Tapni stavku u legendi da je sakriješ ili vratiš.

Prvo samo promatraj:

Mijenjaj broj stranica. Što se s krugovima događa, a što ostaje isto?
Kad je prsten debeo, a kad tanak? Je li tanak prsten nužno i manji?
Gdje točno mali krug dodiruje stranicu AB?

Savjeti (otvaraj jedan po jedan)

💡 1. Ovo je ista vrsta zadatka kao jučerašnji prsten i tetiva, samo u drugom ruhu. Pogledaj stranicu AB: kakva je to crta za veliki krug, a kakva za mali krug?

💡 2. Uključi 📐 Pokaži pomoćni trokut. Mali krug dodiruje AB u točki T, pa polumjer O–T stoji okomito na AB. Tamo je pravi kut. Koje su tri stranice trokuta O–T–A?

💡 3. Površina kruga je π puta polumjer puta polumjer (π·r·r, ne π·r). Prsten je veliki krug bez malog. Pitaj se: trebaš li zaista znati R i r, ili ti je dosta neka njihova kombinacija?

Površina prstena je 16π ≈ 50,3 cm², za svaki pravilni mnogokut sa stranicom 8 cm.

Zašto: u trokutu O–T–A pravi kut je kod T. Hipotenuza je veliki polumjer R, katete su mali polumjer r i pola stranice, 4 cm. Pitagora: R² = r² + 4². Oduzmi r² s obje strane: R² − r² = 16.

Prsten = π·R² − π·r² = π·(R² − r²) = π·16 ≈ 50,3 cm². Broj stranica mijenja R i r, ali ne mijenja njihovu razliku kvadrata, pa ni prsten.

Obrazac za ponijeti: pravi kut kod dodira → R² = r² + poznato² → R² − r² = poznato². Kad je mnogokutu više stranica, prsten je tanji, ali veći okolo, pa mu površina ostaje ista.