Geometrijski izazov #4 · 18. 10. 2026. · razina 2+ (nova ideja)

Prsten i tetiva

Dva kruga imaju isto središte O: veliki (žuti iscrtkani rub) i mali (plavi). Između njih je narančasti prsten.

Žuta crta spaja dvije točke velikog kruga, duga je 10 cm i mali krug samo dodiruje u točki T.

Pitanje: Kolika je površina narančastog prstena? Nitko ti ne govori koliki su krugovi. Treba li ti to uopće?

O AB T

Povuci bijelu točku T (mišem ili prstom): mijenjaš veličinu malog kruga i okrećeš crtu. Žuta crta uvijek ostaje duga 10 cm.

Kako gledati crtež
prsten mali krug veliki krug crta AB (10 cm)

Tapni stavku u legendi da je sakriješ ili vratiš.

Prvo samo promatraj:

  1. Pomiči točku T. Što se na crtežu mijenja, a što uvijek ostaje isto?
  2. Kad je prsten tanak, a kad debeo? Izgleda li ti da mu se površina mijenja?
  3. Zadatak ne kaže koliki su krugovi. Što ti to govori o odgovoru?
Savjeti (otvaraj jedan po jedan)
💡 1. Ako zadatak ima jedan odgovor, a krugovi mogu biti razni, onda odgovor mora biti isti za sve krugove koji paze na pravila (crta 10 cm, dodiruje mali krug). Onda smiješ izabrati one krugove s kojima ti je najlakše. Koji bi to bili?
💡 2. Smanjuj mali krug sve dok ne postane samo točka. Kroz koju točku sad prolazi žuta crta? Što je ona sad za veliki krug? I kakav je lik postao prsten?
💡 3. Ali je li pošteno “varati” s točkom? Provjeri zašto vrijedi uvijek. Trokut O–T–A ima pravi kut kod T (crta koja samo dodiruje krug stoji okomito na polumjer). Sjeti se izazova #1 i Pitagore: kvadrat na R = kvadrat na r + kvadrat na 5. Prsten je veliki krug kad mu izrežeš mali. A površina svakog kruga je isti broj (oko 3,14) puta kvadrat na polumjeru. Što ostane kad od velikog “kvadrata” oduzmeš mali?

Površina prstena je 25π ≈ 78,5 cm², bez obzira na to koliki su krugovi.

Brzi uvid: kad je mali krug samo točka, žuta crta prolazi kroz središte, pa je promjer velikog kruga 10 cm. Prsten je tada cijeli krug polumjera 5, a to je 3,14 × 5 × 5 ≈ 78,5 cm².

Zašto vrijedi uvijek: u pravokutnom trokutu O–T–A Pitagora kaže R·R = r·r + 5·5. Prsten = 3,14 × R·R − 3,14 × r·r = 3,14 × (R·R − r·r) = 3,14 × 5·5. Polumjeri se “pokrate”, ostane samo pola crte.

Nova ideja za ponijeti: ako odgovor ne ovisi o nečemu, gurni to do krajnosti (ovdje mali krug do točke) i zadatak postane lak.