Zadatak. Pravokutni trokut ABC s pravim kutom u C. Na hipotenuzi AB kao dijametru nacrtan je polukrug na istoj strani kao točka C (prolazi kroz C — Thalesov poučak). Na svakoj kateti, kao na dijametru, nacrtan je polukrug izvan trokuta.
Dvije mjesečine (ljubičasta i ružičasta) su dijelovi malih polukrugova koji strše izvan velikog polukruga.
Mijenjaj duljine kateta. Što vrijedi za zbroj površina dviju mjesečina? Usporedi s površinom trokuta. Zašto to mora vrijediti — bez brojanja decimala?
Povuci točku A ili B (prstom ili mišem) da mijenjaš katete. Brojevi ispod crteža pomažu uočiti uzorak — ali zašto ostaje tvoje otkriće.
Zbroj površina dviju mjesečina jednak je površini trokuta ABC.
Zašto, elegantno: veliki polukrug na hipotenuzi (Thales) = trokut + dva kružna odsječka uz katete. S druge strane, jučerašnji uvid (Pitagora za polukrugove) kaže da je zbroj malih polukrugova na katetama jednak velikom polukrugu na hipotenuzi. Oduzmi odsječke s obje strane: ostaju dvije mjesečine = trokut.
Drugim riječima: mali polukrugovi − odsječci = mjesečine, a mali polukrugovi − odsječci = veliki polukrug − odsječci = trokut.
Hippokrates s Hiosa (~440. pr. Kr.) pokazao je da se neke zakrivljene plohe mogu „izmjeriti” točno — ovo je jedan od prvih takvih uvida u povijesti matematike.